Laboratorio - sezione1: GEOMETRIA DELLE SEZIONI CONICHE

Geometria delle sezioni coniche

Teoria Tridimensionale
La teoria delle coniche si sviluppa nella seconda metà del IV secolo a.C. ad opera di Menecmo (Euclide) (ortotome, oxitome, amblitome) e successivamente di Apollonio (parabola, ellisse, iperbole, coniche focali).
Le coniche, ottenute come sezioni piane di un cono, sono studiate inizialmente nello spazio in quanto curve "solide". I "sintomi" (proprietà) che le caratterizzano legano i loro singoli punti al cono di appartenenza. Nella storia vi sono diverse riprese della teoria tridimensionale, quì documentate da:

la macchina di Cartesio per le lenti iperboliche;
il compasso perfetto;
lo studio delle proiezioni di una circonferenza (Teorema di Stevin: parabola, ellisse, iperbole);
trasformazione di De La Hire.

Il legame semplice e suggestivo tra teoria piana e teoria "solida" viene stabilito nel 1822 da Dandelin (ellisse, iperbole, parabola).

Teoria Bidimensionale
La ricerca sulle coniche nel piano (durata diversi secoli) ha messo in evidenza proprietà particolari che le mettono in relazione con altri oggetti della geometria. Questo studio sta alla base di molti meccanismi inventati per tracciare coniche :

conicografi a filo teso: parabola, ellisse, iperbole 1°, iperbole 2°;
conicografi di Cavalieri: parabola, ellisse, iperbole;
conicografi che utilizzano il cerchio direttore: parabola, ellisse, iperbole;
antiparallelogrammi: ellisse, iperbole;
ellissografi: Proclo, Leonardo, Van Schooten;
Delaunay: ellisse, iperbole;
parabolografo (proprietà della sottonormale e della sottotangente);
De L´Hospital: parabola, iperbole;
ellissografi a barra: guide ortogonali, guide oblique;
generazione organica delle coniche secondo Newton: iperbole, parabola, ellisse, angoli variabili;
generazione organica delle coniche secondo Mac Laurin: ellisse;
Macchina di Oddi-Paciotti;
Iperbolografo di Cartesio.

Mentre i conicografi prima elencati guidano una punta scrivente che traccia curve intese come luoghi di punti, altri strumenti consentono di pilotare una retta che, durante il suo moto si mantiene tangente alla conica.
Per la generazioni di coniche-inviluppo abbiamo preso in considerazione:

metodo della podaria: parabola, ellisse, iperbole;
metodo della polare: parabola, ellisse, iperbole;

Su principi diversi è basato il

metodo della corrispondenza: ellisse, iperbole, parabola.

Ci sono infine meccanismi che utilizzano le proprietà delle curve isottiche e ortottiche (parabola 1°, parabola 2°, ellisse 1°, ellisse 2°), oppure quelle dei moti rigidi piani (rotolamento di una conica su un'altra uguale: ellissi, iperboli, parabole).